如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点，(1)求证：A1D⊥平面BB1C1C；(2)求证：AB1∥平面A1DC；(3)求二面角D-A1C-A的余弦值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠B..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，
(1)求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
(2)求证：AB₁∥平面A₁DC；
(3)求二面角D-A₁C-A的余弦值。

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
又因为A₁D

平面A₁B₁C₁，
所以CC₁⊥A₁D，
又易知A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁的中点，
所以A₁D⊥B₁C₁，
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．

(2)连接AC₁，交A₁C于点O，连接OD，如图，
因为四边形ACC₁A₁为正方形，所以O为AC₁的中点，
又D为B₁C₁的中点，
所以OD为△AB₁C₁的中位线，
所以AB₁∥OD，
因为OD

平面A₁DC，AB₁

平面A₁DC，
所以AB₁∥平面A₁DC。
(3)因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AB=1，则C(0，1，0)，B(1，0，0)，A₁(0，0，1)，

，

，
设平面A₁DC的一个法向量为n=(x，y，z)，
则

，即

，
取x=1，得n=(1，-1，-1)，
又因为AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的一个法向量为

，

，
因为二面角D-A₁C-A是钝二面角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠B..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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