已知函数f(x)=lnx-x-1x．（1）判定函数f（x）的单调性；（2）设a＞1，证明：lnaa-1＜1a．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=lnx-x-1x．（1）判定函数f（x）的单调性；（2）设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=lnx-

x-1

x

．
（1）判定函数f（x）的单调性；
（2）设a＞1，证明：

lna

a-1

＜

1

a

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=

1

x

-

x

-

1

2

x

(x-1)

x

=

2

x

-x-1

x

，x∈（0，+∞）
当2

x

-x-1≤0，即4x≤（x+1）²，即（x-1）²≥0，x∈（0，+∞）时f′（x）≤0恒成立，
所以f（x）在区间上（0，+∞）单调递减；
（2）证明：由（1）得函数是单调减函数，
因为a＞1，所以得到f（a）＜f（1）即lna-

a-1

a

＜0，即lna＜

a-1

a

即

lna

a-1

＜

1

a

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=lnx-x-1x．（1）判定函数f（x）的单调性；（2）设..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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