已知函数f（x）=12[3ln（x+2）-ln（x-2）]（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12[3ln（x+2）-ln（x-2）]（I）求x为何值时，f（x）在[3，7..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

[3ln（x+2）-ln（x-2）]
（I）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=

1

2

[

3

x+2

-

1

x-2

]=

x-4

x2-4

∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数
∴f（x）在[3，7]上的最大值应在端点处取得，又f（3）-f（7）=

1

2

[3ln5-ln1]-

1

2

[ln625-ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是单调递增函数，∴F′（x）≥0恒成立
又F′（x）=

a

x-1

-

x-4

x2-4

=

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x2-4)

在f（x）的定义域（2，+∞）上，有（x-1）（x²-4）＞0恒成立．
∴F′（x）≥0?（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．…（10分）
下面分情况讨论（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）-2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，无解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12[3ln（x+2）-ln（x-2）]（I）求x为何值时，f（x）在[3，7..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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