如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2﹣k）x﹣（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

如图，已知椭圆

的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

试题来源：江苏期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）将（2﹣k）x﹣（1+2k）y+（1+2k）=0
整理得（﹣x﹣2y+2）k+2x﹣y+1=0
解方程组

得直线所经过的定点（0，1），
所以b=1．
由离心率

得a=2．
所以椭圆的标准方程为

．
（2）设P（x₀，y₀），则

．
∵HP=PQ，
∴Q（x₀，2y₀）．
∴

∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．
即Q点在以AB为直径的圆O上．
又A（﹣2，0），
∴直线AQ的方程为

．
令x=2，得

．
又B（2，0），N为MB的中点，
∴

．
∴

，

．∴

=x₀（x₀﹣2）+x₀（2﹣x₀）=0．
∴

．
∴直线QN与圆O相切．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2﹣k）x﹣（..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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