已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于

，它的一个顶点恰好是抛物线

的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
（i）若直线AB的斜率为

，求四边形APBQ面积的最大值；
（ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

试题来源：安徽省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）设C方程为，则．
由，得a=4
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）（i）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为，
代入，得x²+tx+t²﹣12=0
由△＞0，解得﹣4＜t＜4
由韦达定理得x₁+x₂=﹣t，x₁x₂=t²﹣12．
四边形APBQ的面积
∴当t=0，．
（ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，
PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）
由
（1）代入（2）整理得
（3+4k²）x²+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）²﹣48=0
同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），
可得
∴

所以AB的斜率为定值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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