已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

试题来源：吉林省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

，
据此验证4个点知（3，﹣2

）、（4，﹣4）在抛物线上，
易求C₂：y²=4x
设C₁：

，
把点（﹣2，0）（

）代入
得：

解得

∴C₁方程为

（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x﹣1），
与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

消掉y，
得（1+4k²）x²﹣8k²x+4（k²﹣1）=0，
于是

，

①
y₁y₂=k（x₁﹣1）×k（x₁﹣1）=k²[x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1]
即

②
由

，即

，
得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，
得

，
解得k=±2；
所以存在直线l满足条件，
且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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