已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线（I）求椭圆E的方程；（II）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使恒为常数？若存在，求出点M的坐标-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线（I）求椭圆E的方程；（II）过点C..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线

（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使

恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：山东省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=

，c=ea=

，
故b=

所以，椭圆E的方程为

，即x²+3y²=5．
（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²﹣5=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），
则x₁+x₂=

，x₁x₂=

；

=（k²+1）x₁x₂+（k²﹣m）（x₁+x₂）+k²+m²=m²+2m﹣

，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣

；
所以，存在点M（﹣

，0）满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线（I）求椭圆E的方程；（II）过点C..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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