设函数f（x）=p（x-1x）-2lnx，g（x）=x2，（I）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求实数p的值；（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=p（x-1x）-2lnx，g（x）=x2，（I）若直线l与函数f（x），g（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=x²，
（I）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求实数p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）方法一：∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

，∴f'（1）=2p-2．
设直线，并设l与g（x）=x²相切于点M（x₀，y₀）
∵g'（x）=2x，∴2x₀=2p-2，解得
∴x0=p-1，y0=(p-1)2，
代入直线l方程解得p=1或p=3．
方法二：将直线方程l代入y=x²得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）²-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．．
①要使f（x）为单调增函数，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即p≥

2x

x2+1

=

2

x+

1

x

在（0，+∞）恒成立，
又

2

x+

1

x

≤1，所以当p≥1，此时f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
②要使f（x）为单调减函数，须f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即p≤

2x

x2+1

，（0，+∞）恒成立，又

2x

x2+1

≥0，所以p≤0．当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上，若f（x）在（0，+∞）为单调函数，则p的取值范围为p≥1或p≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=p（x-1x）-2lnx，g（x）=x2，（I）若直线l与函数f（x），g（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：