设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x1，f（x1））、（x2，f（x2）），该平面上动点P（x，y），Q（mx，2y），OC=OQ+mOA满足AP?OC=1-m．（-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy平面上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P（x，y），Q（mx，2y），

OC

=

OQ

+m

OA

满足

AP

?

OC

=1-m．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求动点P的轨迹方程，并判断轨迹的形状．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令f'（x）=（-x³+3x+2）'=-3x²+3=0解得x=1或x=-1
当x＜-1时，f'（x）＜0；当-1＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）；
（2）由题意，

AP

=(1+x，y)，

OC

=(mx-m，2y)
∵

AP

?

OC

=1-m
∴（1+x）（mx-m）+2y²=1-m
∴mx²+2y²=1
①m=0时，y=±

2

，表示两条平行直线；
②m=2时，x²+y²=

1

2

，表示原点为圆心，半径为

2

的圆；
③m＜0时，

y2

1

2

-

x2

-

1

m

=1，表示焦点在y轴上的双曲线；
④m＞0时，

y2

1

2

+

x2

1

m

=1，若0＜m＜2，表示焦点在x轴上的椭圆；若m＞2，表示焦点在y轴上的椭圆．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy平面上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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