已知函数f(x)=ln1x-ax2+x(a＞0)．（I）讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3-2ln2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ln1x-ax2+x(a＞0)．（I）讨论f（x）的单调性..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ln

1

x

-ax2+x(a＞0)．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）函数f（x）的定义域为（0，-∞），
f′（x）=-

1

x

-2ax+1=

-2ax2+x-1

x

a＞0，设g（x）=-2ax²+x-1，△=1-8a，
（1）当a≥

1

8

，△≤0，g（x）≤0，
∴f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上递减，
（2）当0＜a＜

1

8

时，△＞0，f′（x）=0可得x₁=

1-

1-8a

4a

，x₂=

1+

1-8a

4a

，
若f′（x）＞0可得x₁＜x＜x₂，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0，可得0＜x＜x₁或x＞x₂，f（x）为减函数，
∴函数f（x）的减区间为（0，x₁），（x₂，+∞）；增区间为（x₁，x₂）；
（II）由（I）当0＜a＜

1

8

，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

，
f（x₁）+f（x₂）=-lnx₁-ax₁²+x₁-lnx₂-ax₂²+x₂
=-ln（x₁x₂）-a（x₁²+x₂²）+（x₁+x₂）=-ln（x₁x₂）-a（x₁+x₂）²+2ax₁x₂+（x₁+x₂）
=-ln

1

2a

-a×

1

4a2

+2a×

1

2a

=ln（2a）+

1

4a

+1=lna+

1

4a

+ln2+1
设h（a）=lna+

1

4a

+ln2+1，
h′（a）=

1

a

-

1

4a2

=

4a-1

4a2

＜0（0＜a＜

1

8

），
所以h（a）在（0，

1

8

）上递减，
h（a）＞h（

1

8

）=ln

1

8

+

1

4×

1

8

+ln2+1=3-2ln2，
所以f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ln1x-ax2+x(a＞0)．（I）讨论f（x）的单调性..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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