在区间（-2，1）内，函数f（x）=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值，在x=23处取得极大值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：在区间（-2，1）内，函数f（x）=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值，在x=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

在区间（-2，1）内，函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=

2

3

处取得极大值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+bx，∴f′（x）=-3x²+2ax+b（2分）
∵函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=

2

3

处取得极大值
∴f′（-1）=0，f′(

2

3

)=0（6分）
∴-3（-1）²+2a×（-1）+b=0，-3(

2

3

)2+2a×(

2

3

)+b=0
联立求解得a=-

1

2

，b=2（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=-3x²-x+2，f(x)=-x3-

x2

2

+2x，
当x∈[-2，1]时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：（12分）

x

（-∞，-1）

-1

(-1，

2

3

)

2

3

(

2

3

，+∞)

f′（x）

-

0

+

0

-

f（x）

极小值

极大值

∴f（x）在（-∞，-1），(

2

3

，+∞)上单调递减；（14分）
f（x）在(-1，

2

3

)上的单调递增．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在区间（-2，1）内，函数f（x）=-x3+ax2+bx在x=-1处取得极小值，在x=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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