设a＞0，函数f(x)=x-ax2+1+a．（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，函数f(x)=x-ax2+1+a．（I）若f（x）在区间（0，1]..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设a＞0，函数f(x)=x-a

x2+1

+a．
（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）对函数f(x)求导数，得f′(x)=1-

ax

x2+1

．（2分）
要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要f′(x)=1-

ax

x2+1

≥0在(0，1]上恒成立，
即a≤

x2+1

x

=

1+

1

x2

在(0，1]上恒成立（4分）
因为

1+

1

x2

在(0，1]上单调递减，所以

1+

1

x2

在(0，1]上的最小值是

2

，
注意到a＞0，所以a的取值范围是(0，

2

]．（6分）
（II）①当0＜a≤

2

时，由（I）知，f（x）在区间（0，1]上是增函数，
此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是f(1)=1+(1-

2

)a．（8分）
②当a＞

2

时，令f′(x)=1-

ax

x2+1

=0，
解得x=

1

a2-1

∈(0，1)．（10分）
因为0＜x＜

1

a2-1

时，f′(x)＞0；

1

a2-1

＜x＜1时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，

1

a2-1

)上单调递增，在(

1

a2-1

，1)上单调递减，
此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是f(

1

a2-1

)=a-

a2-1

．（13分）
综上，当0＜a≤

2

时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是1+(1-

2

)a；
当a＞

2

时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是a-

a2-1

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，函数f(x)=x-ax2+1+a．（I）若f（x）在区间（0，1]..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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