已知函数f(x)=(xm-1)2+(nx-1)2的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意x1、x2∈[m，n]，不等式|f（x1）-f（x2）|＜1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(xm-1)2+(nx-1)2的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．（1）讨..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(

x

m

-1)2+(

n

x

-1)2的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(x)=(

x

m

-1)2+(

n

x

-1)2
=

x2

m2

+

n2

x2

-

2x

m

-

2n

x

+2，
∴f′(x)=

2x

m2

-

2n2

x3

-

2

m

+

2n

x2

=

2

m2x3

(x4-m2n2-mx3+m2nx)
=

2

m2x3

(x2-mx+mn)(x+

mn

)(x-

mn

)，
∵1≤m≤x＜n≤2，
∴

2

m2x3

＞0，
x²-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，
x+

mn

＞0，
令f′（x）=0，得x=

mn

，
当x∈[m，

mn

]时，f′（x）＞0，
当x∈[

mn

，n]时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[m，

mn

]内，单调递减；
在[

mn

，n]内，单调递增．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值为f（

mn

）=2(

n

m

-1)2，
最大值为f（m）=(

n

m

-1)2，
对任意x₁，x₂∈[m，n]，
|f（x₁）-f（x₂）|≤(

n

m

-1)2-2(

n

m

-1)2
=(

n

m

)2-4?

n

m

+4

n

m

-1，
令μ=

n

m

，h（μ）=μ⁴-4μ²+4μ-1，
∵1≤m＜n≤2，
∴1＜

n

m

≤2，
即1＜μ≤

2

，
∵h（μ）=4μ³-8μ+4
=4(μ-1)(μ-

5

-1

2

)(μ+

5

+1

2

)＞0，
∴h（μ）在（1，

2

）上是增函数，
∴h（μ）≤h(

2

)=4-8+4

2

-1
=4

2

-5＜1，
∴对任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(xm-1)2+(nx-1)2的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．（1）讨..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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