已知函数f（x）=（x2-3x+3）?ex定义域为[-2，t]（t＞-2）．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；（Ⅱ）当1＜t＜4时，求满足f′(x0)ex0=23(t-1)2的x0的个数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2-3x+3）?ex定义域为[-2，t]（t＞-2）．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）?e^x定义域为[-2，t]（t＞-2）．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）当1＜t＜4时，求满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的个数．

试题来源：浙江二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f'（x）=（x²-3x+3）e^x+（2x-3）e^x=x（x-1）e^x 由f'（x）＞0得x＞1或x＜0；由f'（x）＜0得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，欲f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．-----（7分）
（3）因为

f′(x0)

ex0

=x02-x0，所以由

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即为x02-x0=

2

3

(t-1)2，
令g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，从而问题转化为求方程g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在[-2，t]上的解的个数，--------（10分）
因为g(-2)=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)，g(t)=t(t-1)-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g(0)=-

2

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在[-2，t]上有两解．
即，满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的个数为2．--------（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2-3x+3）?ex定义域为[-2，t]（t＞-2）．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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