已知f（x）=ax-x3（x∈R）在区间(0，22]内是增函数．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的极小值为-2，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax-x3（x∈R）在区间(0，22]内是增函数．（Ⅰ）求a的取值范围；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax-x³（x∈R）在区间(0，

2

]内是增函数．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为-2，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=a-3x²，（1分）
依题意，当x∈(0，

2

]时，f'（x）≥0，即a-3x²≥0成立，（3分）
∴a≥3×(

2

)2=

3

2

，故所求a的范围是[

3

2

，+∞)．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x²=0，得x=±

a

3

．由（Ⅰ）知，a≥

3

2

．
当x＜

a

3

时，f'（x）＞0；当x＞

a

3

时，f'（x）＜0．
所以，当x=

a

3

时，f（x）取极大值．
当x＜-

a

3

时，f'（x）＜0；当x＞-

a

3

时，f'（x）＞0．
所以，当x=-

a

3

时，f（x）取极小值．（10分）
于是，f(-

a

3

)=-2，即a(-

a

3

)-(-

a

3

)3=-2，解得a=3．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax-x3（x∈R）在区间(0，22]内是增函数．（Ⅰ）求a的取值范围；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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