设函数f（x）=x2-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．（1）当b=1且函数f（x）在其定义域上为增函数时，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，试用a表示b；（3）在（2）的条件下，讨论-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．（1）当b=1且函数f（x）在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）当b=1且函数f（x）在其定义域上为增函数时，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，试用a表示b；
（3）在（2）的条件下，讨论函数f（x）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当b=1时，函数f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定义域为（-1，+∞）．∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

．
∵函数f（x）是增函数，∴当x＞-1时，∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

≥0恒成立．
即当x＞-1时，a≤2x+

1

x+1

恒成立．
∵当x＞-1时，2x+

1

x+1

=2(x+1)+

1

x+1

-2≥2

2

-2，
且当x=

2

-1时取等号．∴a的取值范围为(-∞，2

2

-2]．
（2）∵f′(x)=2x-a+

b

x+1

，且函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此时f′(x)=2x-a+

2a-4

x+1

=

2(x-1)(x-

a-4

2

)

x+1

．
当

a-4

2

=1，即a=6时，f'（x）≥0恒成立，
此时x=1不是极值点．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由f′(x)=

2(x-1)(x-

a-4

2

)

x+1

得
①当a＜2时，

a-4

2

≤-1．∴当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0．∴当a＜2时，
f（x）的单调递减区间为（-1，1），单调递增区间为（1，+∞）．
②当2＜a＜6时，-1＜

a-4

2

＜1．
∴当-1＜x＜

a-4

2

，或x＞1时，f'（x）＞0；
当

a-4

2

＜x＜1时，f'（x）＜0；
∴当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(

a-4

2

，1)，
单调递增区间为(-1，

a-4

2

)，（1，+∞）．
③当a＞6时，

a-4

2

＞1．∴当-1＜x＜1，或x＞

a-4

2

时，f'（x）＞0；
当1＜x＜

a-4

2

时，f'（x）＜0；
∴当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，

a-4

2

)，
单调递增区间为(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．
综上所述：∴当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（-1，1），
单调递增区间为（1，+∞）；
当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(

a-4

2

，1)，
单调递增区间为(-1，

a-4

2

)，(1，+∞)；
当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，

a-4

2

)，
单调递增区间为(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．（1）当b=1且函数f（x）在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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