已知函数f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值-43．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值-43．（Ⅰ）求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值-

4

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=x²+a，由f′（2）=0得a=-4
由f(2)=-

4

3

得b=4则f(x)=

1

3

x3-4x+4，令f′（x）=x²-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由f(-4)=-

4

3

，f(-2)=

28

3

，f(2)=-

4

3

，f(3)=1
则

28

3

≤m2+m+

10

3

f(x)的最大值为

28

3

，
要使

1

3

x3+ax+b≤m2+m+

10

3

对x∈[-4，3]恒成立，只要f(x)max≤m2+m+

10

3

就可以了，
即

28

3

≤m2+m+

10

3

得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值-43．（Ⅰ）求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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