设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求实数a的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设a∈R，函数f（x）=ax³-2x²-4ax，
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求实数a的取值范围；若不是，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的导数f'（x）=3ax²-4x-4a，
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，
所以f'（2）=12a-8-4a=0，
即8a-8=0，所以a=1．
所以f'（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
由f'（x）＞0得，-1＜x＜-

2

3

或2＜x＜5，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0得，-

2

3

＜x＜2，此时函数单调递减．
所以当x=-

2

3

时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．
又f(-1)=1，f(-

2

3

)=

40

27

，f(2)=-8，f(5)=55，
所以最大值为55，最小值为-8．
（2）若a=0，则f（x）=-2x²，在R上不单调，所以a=0不成立．
若a≠0，则导数f'（x）=3ax²-4x-4a，对应的判别式△=16+48a²＞0恒成立．
所以不存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a∈R，函数f（x）=ax3-2x2-4ax，（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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