已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时，都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若f(-1)=32，求f（x）的单调区间和极值；（3）若对x∈[-1，2]都有f(x)＜3c恒成立，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时，都取得极值．（1）求a，b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与x=-

2

3

时，都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若f(-1)=

3

2

，求f（x）的单调区间和极值；
（3）若对x∈[-1，2]都有f(x)＜

3

c

恒成立，求c的取值范围．

试题来源：东营一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2a x+b．
由题设，∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与x=-

2

3

时，都取得极值．
∴x=1，x=-

2

3

为f′（x）=0的解．
∴-

2

3

a=1-

2

3

，

b

3

=1×（-

2

3

）．
解得a=-

1

2

，b=-2（4分）
此时，f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（x+

2

3

），x=1与x=-

2

3

都是极值点．（5分）
（2）f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+c，由f （-1）=-1-

1

2

+2+c=

3

2

，∴c=1．
∴f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+1．

x

（-∞，-

2

3

）

（-

2

3

，1）

（1，+∞）

f′（x）

+

-

+

∴f （x）的递增区间为（-∞，-

2

3

），及（1，+∞），递减区间为（-

2

3

，1）．
当x=-

2

3

时，f （x）有极大值，f （-

2

3

）=

49

27

；
当x=1时，f （x）有极小值，f （1）=-

1

2

（10分）
（3）由（1）得，f′（x）=（x-1）（3x+2），f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+c，
f （x）在[-1，-

2

3

）及（1，2]上递增，在（-

2

3

，1）递减．
而f （-

2

3

）=-

8

27

-

2

9

+

4

5

+c=c+

22

27

，f （2）=8-2-4+c=c+2．
∴f （x）在[-1，2]上的最大值为c+2．
∴c+2＜

3

c

∴

c2+2c-3

c

＜0
∴

c＞0

c2+2c-3＜0

或

c＜0

c2+2c-3＞0

∴0＜c＜1或c＜-3（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时，都取得极值．（1）求a，b..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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