设x1，x2是f(x)=a3x3+b-12x2+x（a，b∈R，a＞0）的两个极值点，f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）如果x1＜2＜x2＜4，求f′（-2）的取值范围；（Ⅱ）如果0＜x1＜2，x2-x1=2，求证：b＜14；（Ⅲ）如果a≥2，且-数学试题及答案

1、试题题目：设x1，x2是f(x)=a3x3+b-12x2+x（a，b∈R，a＞0）的两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设x₁，x₂是f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x（a，b∈R，a＞0）的两个极值点，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求证：b＜

1

4

；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=-f′（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）对f（x）求导得f'（x）=ax²+（b-1）x+1，由题意x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根．
由x₁＜2＜x₂＜4，且a＞0得

f′(2)＜0

f′(4)＞0

即

4a+2b-1＜0，?(1)

16a+4b-3＞0，?(2)

f'（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3，由（1）（2）所表示的平面区域可求得4a-2b＞0，
故f'（-2）=4a-2b+3＞3．
所以f'（-2）的取值范围是（3，+∞）．
（Ⅱ）方程ax²+（b-1）x+1=0的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系得

x1+x2=-

b-1

a

x1x2=

1

a

由于x₁x₂≠0，两式相除得-（b-1）=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

，即b=-

1

x1

-

1

x2

+1．
由条件x₂=x₁+2可得b=?（x₁）=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，易知当x₁∈（0，2）时，φ（x）是增函数，
当x₁∈（0，2）时，?（x₁）＜?（2）=

1

4

，
故b的取值范围是(-∞，

1

4

)．得证．
（Ⅲ）因为f'（x）=0的两根是x₁，x₂，
故可设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以g（x）=-f'（x）+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=a（x₂-x）(x-x1+

2

a

)．
由于x∈（x₁，x₂），
因此x₂-x＞0，x-x₁＞0，
又a≥2，可知x-x₁+

2

a

＞0，
故g(x)=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)≤a[

(x2-x)+(x-x1+

2

a

)

2

]2=a(1+

1

a

)2=a+

1

a

+2，
当且仅当x₂-x=x-x₁+

2

a

即x=x₁+1-

1

a

时取等号．
所以h（a）=a+

1

a

+2，a∈[2，+∞），
当a∈（2，+∞）时，h'（a）=1-

1

a2

＞0，h（a）在（2，+∞）内是增函数，
又h（a）在[2，+∞）上连续，
故h（a）在[2，+∞）上是增函数．
所以h（a）_min=h（2）=

9

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1，x2是f(x)=a3x3+b-12x2+x（a，b∈R，a＞0）的两..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：