已知函数f（x）=2lnx-ax2+1（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x）得最大值；（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定义域上是单调函数，求实数a得取值范围；（3）试比较2ln2+2ln3+…+2lnn-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2lnx-ax2+1（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2lnx-ax²+1
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x）得最大值；
（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定义域上是单调函数，求实数a得取值范围；
（3）试比较

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

与

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2）得大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f′（x）=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

（x＞0），
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
且当x=1时f（x）取得最大值f（1）=0；
（2）g（x）=2lnx-ax²+1+x，g′（x）=

2

x

-2ax+1=

-2ax2+x+2

x

（x＞0），
若g（x）在定义域上单调递增，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即-2ax²+x+2≥0恒成立，
也即2a≤

2

x2

+

1

x

恒成立，而

2

x2

+

1

x

=2(

1

x

+

1

4

)2-

1

8

＞0，
所以2a≤0，即a≤0；
若g（x）在定义域上单调递减，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2a≥

2

x2

+

1

x

恒成立，
因为

2

x2

+

1

x

=2(

1

x

+

1

4

)2-

1

8

＞0，所以此时不等式g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
综上，a的取值范围是a≤0；
（3）

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

（n∈N，n≥2），证明如下：
由（1）知2lnx-x²+1≤0，即2lnx≤x²-1（x=1时取等号），
则当x＞1时，

2

x2-1

＜

1

lnx

，
所以n≥2时，

1

lnn

＞

2

n2-1

=

1

n-1

-

1

n+1

，
所以

1

ln2

＞1-

1

3

，

1

ln3

＞

1

2

-

1

4

，

1

ln4

＞

1

3

-

1

5

，…，

1

lnn

＞

1

n-1

-

1

n+1

，
以上各式相加得，

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n(n+1)

，
所以

2

ln2

+

2

ln3

+…+

2

lnn

＞

3n2-n-2

n(n+1)

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2lnx-ax2+1（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：