设函数fn（x）=1+x-x22+x33-…+x2n-12n-1，n∈N*．（1）讨论函数f2（x）的单调性；（2）判断方程fn（x）=0的实数解的个数，并加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数fn（x）=1+x-x22+x33-…+x2n-12n-1，n∈N*．（1）讨论函数f2（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*．
（1）讨论函数f₂（x）的单调性；
（2）判断方程f_n（x）=0的实数解的个数，并加以证明．

试题来源：黄冈模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f₂（x）=1+x-

1

2

x²+

1

3

x³，f₂′（x）=-1-x+x²=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，
所以f₂（x）在R单调递增．
（2）f₁（x）=1+x有唯一实数解x=-1
由f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

+…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*，
得f_n′（x）=1-x+x²-…-x^2n-3+x^2n-2．
（1）若x=-1，则f_n′（x）=（2n-1）＞0．
（2）若x=0，则f_n′（x）=1＞0．
（3）若x≠-1，且x≠0时，则f_n′（x）=

x2n-1+1

x+1

．
①当x＜-1时，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f_n′（x）＞0．
②当x＞-1时，f_n′（x）＞0
综合（1），（2），（3），得f_n′（x）＞0，
即f_n（x）在R单调递增．（10分）
又f_n（0）=1＞0，f_n（-1）=1+（-1）-

1

2

+

1

3

-…-

1

2n-2

+

1

2n-1

＜0，
所以f_n（x）在（-1，0）有唯一实数解，从而f_n（x）在R有唯一实数解．
综上，f_n（x）=0有唯一实数解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数fn（x）=1+x-x22+x33-…+x2n-12n-1，n∈N*．（1）讨论函数f2（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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