已知函数f(x)=12ax2+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上的最大值是-1，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12ax2+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

ax2+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上的最大值是-1，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得函数f(x)=

1

2

ax2+lnx的定义域为（0，+∞）
由求导公式可得：f′(x)=ax+

1

x

=

ax2+1

x

当，f′（x）=

ax2+1

x

＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜0时，令

ax2+1

x

＞0，可解得x＜

-

1

a

，即f（x）在（0，

-

1

a

）单调递增，
同理由

ax2+1

x

＜0，可解得x＞

-

1

a

，即f（x）在（

-

1

a

，+∞）单调递减．
（2）由（1）可知：若a≥0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）=

1

2

a=-1，解得a=-2，与a≥0矛盾应舍去；
若0＜

-

1

a

≤1，即a≤-1，函数f（x）在（0，

-

1

a

）单调递增，在（

-

1

a

，+∞）单调递减．
故若

-

1

a

＞1，即-1＜a＜0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）=

1

2

a=-1，解得a=-2，应舍去．
综上可得所求a的值为：-e

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12ax2+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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