已知函数f(x)=x-2x+1-alnx，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e2]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x-2x+1-alnx，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0，
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e²]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵函数f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0
∴f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

，x＞0
令t=

1

x

＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2

2

，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②△=a²-8＞0，即：a＞2

2

，y=0有两个不等根
由2t²-at+1＞0，得t＜

a-

a2-8

4

或t＞

a+

a2-8

4

，又x＞0
∴0＜x＜

a-

a2-8

2

或x＜0或x＞

a+

a2-8

2

由2t²-at+1＜0，得

a-

a2-8

2

＜t＜

a+

a2-8

2

∴

a-

a2-8

2

＜x＜

a+

a2-8

2

综上：①0＜a≤2

2

，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②a＞2

2

函数f（x）(0，

a-

a2-8

2

)，(

a+

a2-8

2

，+∞)上是增函数，在(

a-

a2-8

2

，

a+

a2-8

2

)上是减函数，
（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e²]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e²）=e²-

2

e2

-5＞0
∴f（x）在区间[1，e²]上值域是[2-3ln2，e²-

2

e2

-5]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x-2x+1-alnx，a＞0，（1）讨论f（x）的单调性..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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