设函数f（x）=（x-1）2+blnx，其中b为常数．（1）当b＞12时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x-1）2+blnx，其中b为常数．（1）当b＞12时，判..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当b＞

1

2

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x-

1

2

)2+b-

1

2

x

(x＞0)
∴当b＞

1

2

时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当b＞

1

2

时，函数f（x）在定义域上无极值点．
②b=

1

2

时，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有两个相同的解x=

1

2

，但当x∈(0，

1

2

)时，f′(x)＞0；当x∈(

1

2

，+∞)时，f′(x)＞0时，
∴b=

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
③当b＜

1

2

时，f'（x）=0有两个不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0时，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0?(0，+∞)，舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈(0，+∞)，
此时f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如表：

x	（0，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）当0＜b＜

1

2

时，0＜x₁＜x₂＜1
此时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一个极小值点x2=

1

2

+

1-2b

2

；
综上所述：当且仅当b＜

1

2

时f（x）有极值点；
当b≤0时，f（x）有惟一最小值点，x=

1

2

+

1-2b

2

；
当0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x=

1

2

-

1-2b

2

和一个极小值点x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，
此时f（x）有惟一极小值点x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+

3

2

且x∈(0，

1+

3

2

)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，

1+

3

2

)为减函数

∵当n≥3时，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+

3

2

，

∴恒有f(1)＞f(1+

1

n

)，即恒有0＞

1

n2

-ln(1+

1

n

)

∴当n≥3时恒有ln(n+1)-lnn＞

1

n2

成立

令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

∴x＞1时，h′(x)＞0，又h(x)在x=1处连续∴x∈[1，+∞)时h(x)为增函数

∵n≥3时1＜1+

1

n

∴h(1+

1

n

)＞h(1)即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0

∴ln(n+1)-lnn=ln(1+

1

n

)＜

1

n

综上述可知n≥3时恒有

1

n

＞ln(n+1)-lnn＞

1

n2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x-1）2+blnx，其中b为常数．（1）当b＞12时，判..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：