己知f（x）=Inx-ax2-bx．（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），-数学试题及答案

1、试题题目：己知f（x）=Inx-ax2-bx．（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f′（x₀）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min …（2分）
∵x＞0，

1

x

+2x≥2

2

当且仅当x=

2

时取=
∴b≤2

2

∴b的取值范围为 (-∞，2

2

] …（4分）
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

(x-1)(2x+1)

x

…（6分）
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即
∴函数f（x）只有一个零点 …（8分）
（Ⅲ）由已知得

f(x1)=lnx1-a

x

21

-bx1=0

f(x2)=lnx2-a

x

22

-bx2=0

两式相减，得
ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b=

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b]=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1- x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]=

1

x1-x2

[

2(

x1

x2

-1)

x1

x2

+1

- ln

x1

x2

]…（10分）
令t=

x1

x2

∈（0，1）且?(t)=

2t-2

t+1

-lnt（0＜t＜1）
∴?′(t)=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0
∴?（t）在（0，1）上递减，∴?（t）＞?（1）=0
x₁＜x₂，f′（x₀）＜0（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“己知f（x）=Inx-ax2-bx．（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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