已知f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R．（1）若f′（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R．（1）若f′（1）=0，求m的值，并..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R．
（1）若f′（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R，
∴f′（x）=4x³-12x²+2（3+m）x-12，
∴f′（1）=4-12+2（3+m）-12=0，
解得m=7．
∴f′（x）=4x³-12x²+20x-12=4（x-1）（x²-2x+3），
方程x²-2x+3=0的判别式△=2²-3×4=-8＜0，
∴x²-2x+3＞0，
所以f′（x）=0，解得x=1，
列表讨论

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

由此可得f（x）的单调减区间是（-∞，1），f（x）单调增区间是（1，+∞）．
（2）f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12=x⁴-4x³+3x²+mx²-12x+12
=x⁴-4x³+4x²+3x²+mx²-12x+12-4x²=x²（x²-4x+4）+（3x²-12x+12）+mx²-4x²
=x²（x-2）²+3（x-2）²+（m-4）x²=（x-2）²（x²+3）+（m-4）x²．
因为（x-2）²（x²+3）≥0，所以只要讨论（m-4）x²是否恒大于0即可．
①当m＜4时，f（2）=4（m-4）＜0，不合题意，
②当m≥4时，f（x）=（x²+3）（x-2）²+（m-4）x²≥0，对一切实数x恒成立，
所以，m的取值范围是[4，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R．（1）若f′（1）=0，求m的值，并..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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