已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞xex-2e成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增 …（2分）
①0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

； …（4分）
②

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt； …（5分）
所以f(x)min=

-

1

e

，0＜t＜

1

e

.

tlnt，t≥

1

e

…（6分）
（2）证明：由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到．
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，
∴m(x)max=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到…（10分）
从而对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

成立． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：