已知f(x)=23x(x2-3ax-92)(a∈R)．（I）若过函数f（x）图象上一点P（1，t）的切线与直线x-2y+b=0垂直，求t的值；（II）若函数f（x）在（-1，1）内是减函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=23x(x2-3ax-92)(a∈R)．（I）若过函数f（x）图象上一点P（1，t..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知f(x)=

2

3

x(x2-3ax-

9

2

)(a∈R)．
（I）若过函数f（x）图象上一点P（1，t）的切线与直线x-2y+b=0垂直，求t的值；
（II）若函数f（x）在（-1，1）内是减函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x，∴f'（x）=2x²-4ax-3．
则过P（1，t）的切线斜率为k=f′（1）=-1-4a．（2分）
又∵它与直线x-2y+b=0垂直，∴-1-4a=-2，即a=

1

4

，．（4分）
∴f(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-3x又∵P（1，t）在f（x）的图象上，∴t=-

17

6

（6分）
（2）∵函数f（x）在（-1，1）内是减函数
∴f'（x）=2x²-4ax-3≤0对于一切x∈（-1，1）恒成立．（8分）
∵二次函数f'（x）的图象开口向上，
∴

f′(-1)=2+4a-3≤0

f′(1)=2-4a-3≤0

（10分）
∴-

1

4

≤a≤

1

4

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=23x(x2-3ax-92)(a∈R)．（I）若过函数f（x）图象上一点P（1，t..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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