已知函数f(x)=(2-a)lnx+1x+2ax，(a∈R)（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(2-a)lnx+1x+2ax，(a∈R)（1）当a=0时，求f（x）的极值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax，(a∈R)
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=0时，f(x)=2lnx+

1

x

f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

(x＞0)…（2分）

x

(0，

1

2

)

1

2

(

1

2

，+∞)

f'（x）

-

0

+

f（x）

单调递减

极小值

单调递增

…（4分）
∴当x=

1

2

时，f（x）极小值=f(

1

2

)=2-2ln2，无极大值…（5分）
（2）f′(x)=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2a(x-

1

2

)(x+

1

a

)

x2

(x＞0)…（6分）
①当

1

2

=-

1

a

，即a=-2时，f'（x）≤0恒成立，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（7分）
②当

a＜0

1

2

＜-

1

a

，即-2＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(

1

2

，-

1

a

)…（9分）
③当

a＜0

1

2

＞-

1

a

，即a＜-2时，f（x）的单调递减区间为(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(-

1

a

，

1

2

)…（11分）
综上所述：当a＜-2时，f（x）的单调递减区间为(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(-

1

a

，

1

2

)；
当a=-2时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当-2＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(

1

2

，-

1

a

)…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(2-a)lnx+1x+2ax，(a∈R)（1）当a=0时，求f（x）的极值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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