已知函数f（x）=ax3+3bx2-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量OP=（b+5，5a）．（1）求a，b的值，并求f（x）的单调区间；（2）是否存在正整数m，使得方程f(x)=6x--数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+3bx2-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量

OP

=（b+5，5a）．
（1）求a，b的值，并求f（x）的单调区间；
（2）是否存在正整数m，使得方程f(x)=6x-

16

3

在区间（m，m+1）内有且只有两个不等实根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴

f′(1)=0

f′(2)=

5a

b+5

解得

a=6

b=-4

…（4分）
得f（x）=6x³-12x²+6x+1
∴f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1），
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜

1

3

，即f(x)在(1，+∞)和(-∞，

1

3

)上单调递增．
由f′(x)＜0，得

1

3

＜x＜1，即f(x)在(

1

3

，1)上单调递减 …（8分）
（2）方程f(x)=6x-

16

3

等价于18x3-36x2+19=0
令g（x）=18x³-36x²+19
则g′(x)=54x2-72x=18x(3x-4)．令g′(x)=0，得x=0或x=

4

3

．
当x∈(0，

4

3

)时，g′(x)＜0，∴g（x）是单调减函数；
当x∈(

4

3

，+∞)时，g′(x)＞0，∴g（x）是单调增函数；
∵g(1)=1＞0，g(

4

3

)=-

7

3

＜0，g(2)=19＞0．
∴方程g(x)=0在区间(1，

4

3

)，(

4

3

，2)内分别有唯一实根．…（12分）
∴存在正整数m=1，使得方程f(x)=6x-

16

3

在区间（1，2）上有且只有两个不相等的实数根．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+3bx2-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1处取得极值，在x=2处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：