已知函数f(x)=13x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．（1）求实数a，b的值；（2）设g(x)=f(x)+mx-1是[2，+∞）上的增函数．①求实数m的最大值；②当m取最大值时，是否-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g(x)=f(x)+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函数．
①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：广元二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数可得f′（x）=x²-2x+a
∵函数在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2，∴

f′(0)=3

f(0)=-2

，∴

a=3

b=-2

．
（2）①由g(x)=f(x)+

m

x-1

=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，得g′（x）=x2-2x+3-

m

(x-1)2

．
∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立．
设（x-1）²=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立
当m≤0时，不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立．
当m＞0时，设y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞）
因为y′=1+

m

t2

＞0，所以函数y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上单调递增，因此y_min=3-m．
∴y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．
综上，m的最大值为3．
②由①得g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，其图象关于点Q（1，

1

3

）成中心对称．
证明如下：∵g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
∴g（2-x）=

1

3

(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+

3

2-x-1

=-

1

3

x3+x2-3x+

8

3

+

3

1-x

因此，g（x）+g（2-x）=

2

3

．
∴函数g（x）的图象关于点Q成中心对称．
∴存在点Q（1，

1

3

），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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