设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；（Ⅲ）若k，n∈N*，且1≤k≤n，证明：1(1+1n)n+1(1+2n)n+…+1(1+kn)n+…+1-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当lnx＜a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，证明：

1

(1+

1

n

)n

+

1

(1+

2

n

)n

+…+

1

(1+

k

n

)n

+…+

1

(1+

n

)n

＞

1

e-1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

1

x

-a（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜

1

a

，由f′（x）＞0可得x＞

1

a

，
∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，

1

a

），单调减区间是（

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x）_max＜0
由上知，a≤0时，不成立；
a＞0时，f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

-1＜0，∴a＞

1

e

；
（Ⅲ）证明：∵函数f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1时，f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

-1=-1
∴lnx-x＜-1
∴lnx＜x-1
令x=1+

k

n

，则ln(1+

k

n

)＜

k

n

，∴nln(1+

k

n

)＜k，∴ln(1+

k

n

)n＜k
∴(1+

k

n

)n＜ek，∴

1

(1+

k

n

)n

＞

1

ek

∴

1

(1+

1

n

)n

+

1

(1+

2

n

)n

+…+

1

(1+

k

n

)n

+…+

1

(1+

n

)n

＞

1

e

+

1

e2

+…+

1

e2

+

1

2n

=

1

e

(1-

1

en-1

)

1-

1

e

+

1

2n

当n→+∞时，

1

e

(1-

1

en-1

)

1-

1

e

→

1

e-1

．
∴

1

(1+

1

n

)n

+

1

(1+

2

n

)n

+…+

1

(1+

k

n

)n

+…+

1

(1+

n

)n

＞

1

e-1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当lnx＜a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：