已知函数f(x)=2ax+a2-1x2+1，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2ax+a2-1x2+1，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

2x

x2+1

，f′(x)=-

2(x+1)(x-1)

(x2+1)2

． …（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求导函数可得，f′(x)=-

2(x+a)(ax-1)

(x2+1)2

． …（6分）
当a=0时，f′(x)=

2x

(x2+1)2

，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减． …（7分）
当a≠0，f′(x)=-2a

(x+a)(x-

1

a

)

(x2+1)2

．
①当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2=

1

a

，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x₁）	↗	f（x₂）	↘

故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），(

1

a

，+∞)；单调增区间是(-a，

1

a

)．…（10分）
②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x₂）	x₂	（x₂，x₁）	x₁	（x₁，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x₂）	↘	f（x₁）	↗

所以f（x）的单调增区间是(-∞，

1

a

)；单调减区间是(-

1

a

，-a)，（-a，+∞）．…（13分）
综上，a＞0时，f（x）在（-∞，-a），(

1

a

，+∞)单调递减；在(-a，

1

a

)单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在(-∞，

1

a

)，（-a，+∞）单调递增；在(

1

a

，-a)单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2ax+a2-1x2+1，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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