设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点，求a的值；（2）如果函数f（x）在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于2e3，-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…（1）如..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…
（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点，求a的值；
（2）如果函数f（x）在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于2e³，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当x∈[e，e²]时，求f（x）的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导得f'（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2ln x+1-

a

x

）．
因为x=e是f（x）的极值点，所以f'（e）=(e-a)(3-

a

e

)=0，解得a=e或a=3e，经检验，a=3e，符合题意．（要有检验过程）
（2）f'（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

，
当x=e时，f'（e）=2（e-a）+

(e-a)2

e

，f（e）=（e-a）²lne=（e-a）²，
所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为y-（e-a）²=[2（e-a）+

(e-a)2

e

]（x-e），
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（

2e2

3e-a

，0），（0，-2e（e-a）），
∴所求面积为

1

2

×|

2e2

3e-a

|×|-2e(e-a)|=2e3．
解之得，a=2e．
（3）在（2）的条件a=2e下，
f（x）=（x-2e）²lnx，f'（x）=2（x-2e）lnx+

(x-2e)2

x

，
对于x∈[e，2e]，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[e，2e]上为减函数．
对于x∈[2e，e²]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[2e，e²]上为增函数．
∴f(x)max=f(e2)=2e2(e-2)2，f(x)min=f(2e)=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…（1）如..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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