在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB=2，O是AB中点．（1）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；（3）求二面角P-BC-A的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB=2，O是A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为

2

的等边三角形，AB=2，O是AB中点．
（1）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求二面角P-BC-A的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当M为棱PA中点时，OM∥平面PBC．
证明如下：∵M，O分别为PA，AB中点，∴OM∥PB
又PB?平面PBC，OM?平面PBC∴OM∥平面PBC．（4分）
（Ⅱ）连接OC，OP
∵AC=CB=

2

，O为AB中点，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．
又PC=

2

，
∴PC²=OC²+PO²=2，∴∠POC=90°．∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC．
∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC．（9分）

（Ⅲ）如图，建立空间直角坐标系O-xyz．
则B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴

BC

=(-1，1，0)，

PB

=(1，0，-1)．
由（Ⅱ）知

OP

=(0，0，1)是平面ABC的一个法向量．
设平面PBC的法向量为n=（x，y，z），
则

n?

BC

=0

n?

PB

=0

?

-x+y=0

x-z=0

．
令z=1，则x=1，y=1，
∴平面PBC的一个法向量n=（1，1，1）．
∴cos＜

OP

，n＞=

OP

?n

|

OP

|?|n|

=

1

1×

3

=

3

．
∵二面角P-BC-A的平面角为锐角，
∴所求二面角P-BC-A的余弦值为

3

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB=2，O是A..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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