如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．（2）求二面角M-AC-B的平面角的-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．
（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）
（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）
∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°
∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，
则∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得AN=

2

．
在Rt△AMN中，AM=

AN

tan∠AMN

=

2

?

3

=

6

3

．
在Rt△CNM中，tan∠MCN=

MN

CN

=

MN

CN

=

6

3

1

=

6

3

故二面角M-AC-B的正切值为

6

3

．（5分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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