如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PAB是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．（1）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；（2）求二面角B-PA-D的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PAB是正三角形，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，已知四边形 ABCD 是矩形，AB=2BC=2，三角形 PAB 是正三角形，且平面 ABCD⊥平面 PCD．
（1）若 O 是 CD 的中点，证明：BO⊥PA；
（2）求二面角 B-PA-D 的余弦值．

试题来源：深圳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵平面 ABCD⊥平面 PCD，平面 ABCD∩平面 PCD=CD，四边形 ABCD 是矩形．
∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，
在Rt△PDA与在Rt△PBC中，AD=BC，PB=PA，∴PC=PD=

22-12

=

3

．
若 O 是 CD 的中点，OP⊥CD．
OP=

(

3

)2-1

=

2

．
建立如图所示的空间直角坐标系，
魔方格

AB=2BC=2．
则O（0，0，0），B（1，0，1），A（-1，0，1），P（0，

2

，0）．
∴

OB

=(1，0，1)，

PA

=(-1，-

2

，1)．
∴cos＜

OB

，

PA

＞=

OB

?

PA

|

OB

| |

PA

|

=0，
∴

OB

⊥

PA

，∴BO⊥PA．
（2）由（1）可知：

AB

=(2，0，0)．
设平面BPA的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1

?

PA

=0

n1

?

AB

=0

，得

-x1-

2

y1+z1=0

2x1=0

，取y₁=1，则z1=

2

，x₁=0．
∴平面BPA的一个法向量为

n1

=(0，1，

2

)．
取

DA

=(0，0，1)，设平面PAD的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)．
则

n2

?

DA

=0

n2

?

PA

=0

，则

z2=0

-x2-

2

y2+z2=0

，取y₂=1，则x2=-

2

，z₂=0．
∴

n2

=(-

2

，1，0)．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1

?

n2

|

n1

| |

n2

|

=

1

3

×

3

=

1

3

．
由图可以看出：二面角 B-PA-D 是一个钝角，故其余弦值为-

1

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PAB是正三角形，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：