如图，已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC1的中点，A1D⊥BE．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；（Ⅲ）求点B到平面A1DE的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面A₁DE的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥面ABCD
又∵AD⊥BD，∴A₁D⊥BD．…（2分）
又A₁D⊥BE，∴A₁D⊥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）连B₁C．∵A₁B₁∥CD，∴B₁C∥A₁D．∵A₁D⊥BE，∴B₁C⊥BE，
∴∠BB₁C=∠CBE，∴Rt△BB₁C∽Rt△CBE，
∴

BC

BB1

=

CE

BC

．∵CE=

1

2

BB1，BC=AD=a，∴

1

2

B

21

=BC2=a2，∴BB1=

2

a．…（5分）
取CD中点M，连BM．∵CD=

2

a，∴BM=

2

a．
过M作MN⊥DE于N，连BN．∵平面CD₁⊥平面BD，BM⊥CD，∴BM⊥平面CD₁，
∴BN⊥DE，∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角．…（7分）∵sin∠MDN=

MN

DM

=

CE

DE

，DE=

CE2+CD2

=

(

2

a)2+(

2

a)2

=

5

2

a，
∴MN=

a

10

．在Rt△BMN中，tan∠BNM=

BM

MN

=

5

，∴∠BNM=arctan

5

．
即二面角B-DE-C等于arctan

5

．…（9分）
（Ⅲ）∵A₁D⊥平面BDE，BN?平面BDE，∴A₁D⊥BN．…（10分）
又∵BN⊥DE，∴BN⊥平面A₁DE，即BN的长就是点B到平面A₁DE的距离．…（11分）
∵BM=

2

a，MN=

a

10

，∴BN=

BM2+MN2

=

15

5

a，
即点B到平面A₁DE的距离为

15

5

a．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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