如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为AB的中点．（Ⅰ）求证二面角E-PC-D为直二面角；（Ⅱ）求点D到面PEC的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面AB..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证二面角E-PC-D为直二面角；
（Ⅱ）求点D到面PEC的距离．

试题来源：肇庆二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）取PC、PD的中点F、G，连接EF、FG、AG．
∵PA⊥面ABCD，CD?面ACBD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
又∵AG?面PAD，∴CD⊥AG．（2分）
∵AG是等腰Rt△PAD斜边PD上的中线，
∴AG⊥PD，（3分）
∴结合 PD∩AD=D，可得AG⊥面PCD．（4分）
∵FG是△PCD的中位线，
∴FG∥CD且FG=

1

2

CD，
又∵平行四边形ABCD中，AE∥CD且AE=

1

2

CD，
∴FG

∥

.

AE，即四边形AEFG为平行四边．
∴EF∥AG，（6分）
∴EF⊥面PCD，（7分）
又∵EF?面PEC，∴面PEC⊥面PCD，
即二面角E-PC-D为直二面角．（8分）
（Ⅱ）如图，在RT△PCD中DH⊥PD，垂足为H．
∵面PEC⊥面PCD，且DH垂直于它们的交线，
∴DH⊥面PCE，即DH的长度为点D到面PEC的距离．（10分）
在RT△PCD中，CD=2，PD=2

2

，PC=2

3

，
∴DH=

CD×PD

PC

=

2×2

2

3

=

2

6

3

，
即点D到面PEC的距离

2

6

3

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面AB..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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