已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）成立；②当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．求：（1）f（1）的值；（2）函-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）成立；
②当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．求：
（1）f（1）的值；
（2）函数f（x）的解析式；
（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，
∴﹣

=﹣1，b=2a．
∵当x∈R时，函数的最小值为0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，
∴f（x）_min=f（﹣1）=0，
∴a=c． ∴f（x）=ax²+2ax+a．
又f（1）=1，
∴a=c=

，b=

．
∴f（x）=

x²+

x+

=

（x+1）²．
（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）²≤1，解得：﹣4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，
显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，
∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．
∴ （m+1﹣4）²≤m，
∴1≤m≤9，
∴m_max=9．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，函..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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