如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）若PA=AB，求二面角A-PD-B的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角A-PD-B的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC…（6分）
（Ⅱ）依题意，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD与平面ABCD的交线为AD，
过点B作BM⊥AD，垂足为M，则BM⊥平面PAD．
在平面PAD内过M作MN⊥PD，垂足为N，连BN，
则PD⊥平面BMN，
∴∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．…（9分）
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴BM=

3

2

AB=

3

，DM=1．…（10分）
又∵PA=AB，得MN=

2

，∴BN=

14

2

．…（11分）
∴Rt△BMN中，cos∠BNM=

MN

BN

=

2

14

2

=

7

．
即二面角A-PD-B的余弦值为

7

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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