如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．
∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．
（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，∴PC⊥BC．
魔方格

又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．
∵AB=BP，∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

，CE=

2

cos∠BEC=

1

3

．∴二面角B-AP-C的大小arccos

1

3

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．
过C作CH⊥PD，垂足为H．
魔方格

∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．
∴CH的长即为点C到平面APB的距离．
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．
∵CD?平面ABC，∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=

1

2

AB=

2

，PD=

3

2

PB=

6

，
∴PC=

PD2-CD2

=2．∴CH=

PC?CD

PD

=

2

3

．
∴点C到平面APB的距离为

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：