如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若二面角C1-AD-C的大小为60°，求AB1与平面ADC1所成角的正弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-AD-C的大小为60°，求AB₁与平面ADC₁所成角的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：连结A₁C交AC₁于点E，则E是A₁C的中点．         …（2分）
连结DE，∵D是BC的中点，∴DE∥A₁B．…（4分）
∵DE?面ADC₁，A₁B?面ADC₁，
∴A₁B∥面ADC₁．        …（6分）
（Ⅱ）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
∵C₁C⊥面ABC，∴C₁C⊥AD，
∴AD⊥面BCC₁B₁，…（8分）
∴∠C₁DC就是二面角C₁-AD-C的平面角，即∠C₁DC=60°．  …（9分）
∵AD⊥面BCC₁B₁，∴面ADC₁⊥面BCC₁B₁．
过B₁作B₁H⊥C₁D于H，∴B₁H⊥面ADC₁，…（11分）
连结AH，则∠B₁AH就是AB₁与平面ADC₁所成的角．  …（12分）
设CD=1，则C1C=

3

， AB1=

5

，B1H=

3

，
∴sin∠B1AH=

B1H

AB1

=

3

5

=

15

5

，
即AB₁与平面ADC₁所成角的正弦值为

15

5

． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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