如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=3，∠ABC=60°．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A-A1C-B的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=3，∠ABC=60°．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=

3

，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AB⊥AA₁，在△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又A₁C?平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁C．
（2）如图，作AD⊥A₁C交A₁C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A₁C，
∴∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角．
在Rt△AA₁C中，AD=

AA1?AC

A1C

=

3

×

3

6

=

6

2

，
在Rt△BAD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

6

3

，
∴cos∠ADB=

15

5

，
即二面角A-A₁C-B的余弦值为

15

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=3，∠ABC=60°．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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