已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=2．那么三棱锥S-ABC的体积为_____

1、试题题目：已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于30°，SA=2．那么三棱锥 S-ABC 的体积为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题设，AH⊥面SBC，作BH⊥SC于E．
由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB，所以SC⊥面ABE．
设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．
由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．
同理，BO⊥AC，故O为△ABC的垂心．
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=2

3

．
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．
所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，
∴OC=SCcos60°=2

3

×

1

2

=

3

，
∴SO=

3

tan60°=

3

×

3

=3．
又OC=

3

AB，故AB=

3

OC=

3

×

3

=3．
所以，V_S-ABC=

1

3

×

3

4

×32×3=

9

3

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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