如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知O-数学试题及答案

1、试题题目：如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知OA1=

3

2

．
（1）求证：B₁C₁⊥平面OAH；
（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，
则EF∥平面OBC，所以EF∥B₁C₁．
又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B₁C₁．
因为OA⊥OB，OA⊥OC，
所以OA⊥面OBC，则OA⊥B₁C₁，
因此B₁C₁⊥面OAH．

（2）作ON⊥A₁B₁于N，连C₁N．因为OC₁⊥平面OA₁B₁，
根据三垂线定理知，C₁N⊥A₁B₁，∠ONC₁就是二面角O-A₁B₁-C₁的平面角．
作EM⊥OB₁于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．
设OB₁=x，由

OB1

MB1

=

OA1

EM

得，

x

x-1

=

3

2

，解得x=3，
在Rt△OA₁B₁中，A1B1=

OA12+OB12

=

3

2

5

，则，ON=

OA1?OB1

A1B1

=

3

5

．
所以tan∠ONC1=

OC1

ON

=

5

，故二面角O-A₁B₁-C₁为arctan

5

．

解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
O-xyz则A(2，0，0)，B(0，0，2)，C(0，2，0)，E(1，0，1)，F(1，1，0)，H(1，

1

2

，

1

2

)
所以

AH

=(-1，

1

2

，

1

2

)，

OH

=(1，

1

2

，

1

2

)，

BC

=(0，2，-2)
所以

AH

?

BC

=0，

OH

?

BC

=0

所以BC⊥平面OAH，
由EF∥BC得B₁C₁∥BC，故：B₁C₁⊥平面OAH

（2）由已知A1(

3

2

，0，0)，设B₁（0，0，z）
则

A1E

=(-

1

2

，0，1)，

EB1

=(-1，0，z-1)
由

A1E

与

EB1

共线得：存在λ∈R有

A1E

=λ

EB1

得

-

1

2

=-λ

1=λ(z-1)

?z=3∴B1(0，0，3)
同理：C₁（0，3，0），∴

A1B1

=(-

3

2

，0，3)，

A1C1

=(-

3

2

，3，0)
设

n

1=(x1，y1，z1)是平面A₁B₁C₁的一个法向量，
则

-

3

2

x+3z=0

-

3

2

x+3y=0

令x=2，得y=z=1，∴

n1

=(2，1，1)．
又

n2

=(0，1，0)是平面OA₁B₁的一个法量∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

4+1+1

=

6

所以二面角的大小为arccos

6

（3）由（2）知，A1(

3

2

，0，0)，B（0，0，2），平面A₁B₁C₁的一个法向量为

n1

=(2，1，1)．
则

A1B

=(-

3

2

，0，2)．
则点B到平面A₁B₁C₁的距离为d=

|

A1B

?

n1

|

|n1|

=

|-3+2|

6

=

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：