如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面C1DE；（Ⅱ）求二面角C1-DE-C的大小；（Ⅲ）在侧棱BB1上是否存在点P，使得CP⊥平面C1DE？证-数学试题及答案

1、试题题目：如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求二面角C₁-DE-C的大小；
（Ⅲ）在侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE？证明你的结论．

试题来源：嘉兴一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：连接CD₁，与C₁D相交于O，连接EO．
∵CDD₁C₁是矩形，
∴O是CD₁的中点，
又E是BC的中点，
∴EO∥BD₁．（2分）
又BD₁?平面C₁DE，EO?平面C₁DE，
∴BD₁∥平面C₁DE．（4分）

（II）过点C作CH⊥DE于H，连接C₁H．
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，
∴C₁H⊥DE，
∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角．（7分）
根据平面几何知识，易得H（0.8，1.6，0）
．∴

HC

=(-0.8，0.4，0)，

HC1

=(-0.8，0.4，3)，
∵cosC1HC=COS＜

HC

，

HC1

＞=

HC

?

HC1

|

HC

|?|

HC1

|

=

2

7

（9分）
∴∠C1HC=arccos

2

7

，
∴二面角C₁-DE-C的大小为ArCCOs

2

7

．（10分）

（III）在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE（11分）
证明如下：
假设CP⊥平面C₁DE，则必有CP⊥DE．
设P（2，2，a），其中0≤a≤3，
则

CP

=(2，0，a)，

DE

=(1，2，0)，
∵

CP

?

DE

=2≠0，这显然与CP⊥DE矛盾．
∴假设CP⊥平面C₁DE不成立，
即在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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