已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，22）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点Q（54，0），动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：QA?Q-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，

2

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点Q（

5

4

，0），动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：

QA

?

QB

为定值．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意知：c=1．
根据椭圆的定义得：2a=

(-1-1)2+(

2

)2

+

2

，解得a=

2

．
所以 b²=2-1=1．
所以椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率为0时，A(

2

，0)，B(-

2

，0)．
则

QA

?

QB

=(

2

-

5

4

，0)?(-

2

-

5

4

，0)=-

7

16

．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x2

2

+y2=1

x=ty+1

，可得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
显然△＞0，则

y1+y2=-

2t

t2+2

y1y2=-

1

t2+2

.

，
因为x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
所以

QA

?

QB

=(x1-

5

4

，y1)?(x2-

5

4

，y2)=(ty1-

1

4

)(ty2-

1

4

)+y1y2
=(t2+1)y1y2-

1

4

t(y1+y2)+

1

16

=-(t2+1)

1

t2+2

+

1

4

t

2t

t2+2

+

1

16

=

-2t2-2+t2

2(t2+2)

+

1

16

=-

7

16

，即

QA

?

QB

=-

7

16

．
综上，

QA

?

QB

=-

7

16

，即

QA

?

QB

为定值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：