已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，下顶点为A，直线AF1与椭圆的另一个交点为B，△ABF2的周长为8，直线AF1被圆O：x2+y2=b2截得的弦长为3．（I）求椭圆C的方程-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁和F₂，下顶点为A，直线AF₁与椭圆的另一个交点为B，△ABF₂的周长为8，直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若过点P（1，3）的动直线l与圆O相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足：

CP

=-λ

PD

，

CQ

=λ

QD

，λ≠0且λ≠±1．求证：点Q总在某定直线上．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵△ABF₂的周长为8，∴4a=8，∴a=2
∵F₁（-c，0），A（0，-b），∴直线AF₁的方程为

x

-c

+

y

-b

=1，即bx+cy+bc=0
∵直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3，O到直线AF₁的距离d=

bc

b2+c2

=

bc

2

．
∴(

bc

2

)2+

9

4

=b2
∴b²c²+9=4b²
∵c²=4-b²，∴b²=3
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）证明：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
∵

CP

=-λ

PD

，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）
∴

1-x1=-λ(x2-1)

3-y1=-λ(y2-3)

，即

x1-λx2=1-λ(1)

y1-λy2=3(1-λ)(2)

同理

x1+λx2=(1+λ)x(3)

y1+λy2=(1+λ)y(4)

（1）×（3），得

x

21

-λ2

x

22

=（1-λ²）x（5）
（2）×（4），得

y

21

-λ2

y

22

=3（1-λ²）y（6）
（5）+（6），得

x

21

+

y

21

-λ2(

x

22

+

y

22

)=（1-λ²）（x+3y）
∵C，D在圆O上，∴

x

21

+

y

21

=3，

x

22

+

y

22

=3
∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3
∴点Q总在定直线x+3y-3=0上．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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